Cuburi geometrice. Ce este un cub diagonal și cum se găsește

Sau un hexaedru) este o figură tridimensională, fiecare față este un pătrat în care, după cum știm, toate părțile sunt egale. Diagonala cubului este un segment care trece prin centrul figurinei și conectează vârfurile simetrice. Într-un hexaedru obișnuit există 4 diagonale și toate vor fi egale. Este foarte important să nu confundați diagonala figurii însăși cu diagonala feței sau pătratului, care se află la baza ei. Fața diagonală a cubului trece prin centrul feței și conectează vârfurile opuse ale pătratului.

Formula pentru găsirea diagonalei cubului

Diagonala unui polyhedron obișnuit poate fi găsită folosind o formulă foarte simplă, care trebuie memorată. D = a√3, unde D este diagonala cubului și este marginea. Vom da un exemplu de problemă în cazul în care este necesar să se găsească o diagonală, dacă se știe că lungimea marginii sale este de 2 cm. Aici totul este doar D = 2√3, chiar și nimic nu trebuie luat în considerare. În cel de-al doilea exemplu, lăsați marginea cubului să fie √3 cm, apoi obțineți D = √3√3 = √9 = 3. Răspuns: D este de 3 cm.

Diago De asemenea, puteți găsi o față cu formula. Diagonalele care se află pe margini sunt doar 12 bucăți și toate sunt egale. Acum ne amintim d = a√2, unde d este diagonala pătratului și este de asemenea marginea cubului sau a laturii pătratului. Înțelegerea de unde a venit această formulă este foarte simplă. La urma urmei, cele două laturi ale pătratului și forma diagonală. În acest trio, diagonala joacă rolul de hypotenuse, iar laturile pătratului sunt picioarele care au aceeași lungime. Reamintește teorema lui Pitagora și totul va intra imediat în loc. Acum sarcina: marginea hexaedrului este √8 cm, este necesar să se găsească diagonala feței. Introducem în formulă și obținem d = √8 √2 = √16 = 4. Răspuns: diagonala feței cubului este de 4 cm.

Dacă este cunoscută fața diagonală a cubului

Prin condiția problemei, ni se dă numai diagonala feței unui poliedent obișnuit, care este, de exemplu, √2 cm, și trebuie să găsim diagonala cubului. Formula pentru rezolvarea acestei probleme este puțin mai complicată decât cea anterioară. Dacă știm d, atunci putem găsi marginea cubului, pe baza celei de-a doua formulări d = a√2. Avem a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (aceasta este marginea noastră). Și dacă această cantitate este cunoscută, atunci este ușor să găsiți diagonala cubului: D = 1√3 = √3. Așa ne-am rezolvat problema.

Dacă suprafața este cunoscută

Următorul algoritm de soluție se bazează pe găsirea diagonalei presupunând că este egal cu 72 cm2. În primul rând, vom găsi zona unei fețe, și există șase dintre ele în totalitate. Deci, 72 trebuie împărțit la 6, obținem 12 cm2. Aceasta este zona unei singure fațete. Pentru a găsi marginea unui polyhedron obișnuit, este necesar să reamintim formula S = a 2, ceea ce înseamnă a = √S. Înlocuiți și obținem a = √12 (marginea cubului). Și dacă știm această valoare, atunci diagonala nu este dificil de găsit D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Răspunsul: diagonala cubului este de 6 cm2.

Dacă se cunoaște lungimea marginilor cubului

Există cazuri în care problema este dată numai la lungimea tuturor muchiilor cubului. Apoi este necesar să împărțiți această valoare cu 12. Este numărul laturilor din poliedrul corect. De exemplu, dacă suma tuturor margini este de 40, atunci o parte va fi egală cu 40/12 = 3.333. Introducem în prima formulă și primim răspunsul!

În care trebuie să găsiți marginea cubului. Aceasta este definiția lungimii unei margini cubice de suprafața feței cubului, de volumul cubului, de diagonala feței cubului și de diagonala cubului. Luați în considerare toate cele patru opțiuni pentru astfel de sarcini. (Sarcinile rămase, de regulă, sunt variații ale celor de mai sus sau sarcini în trigonometrie, care sunt foarte indirect legate de problema în cauză)

Dacă știți zona unei fețe cu cub, atunci găsirea unei margini cub este foarte simplă. Deoarece fața cubului este un pătrat cu o latură egală cu marginea cubului, suprafața lui este egală cu pătratul marginii cubului. Prin urmare, lungimea marginii cubului este egală cu rădăcina pătrată a zonei feței sale, adică:

și - lungimea marginii cubului,

S este zona de pe fața cubului.

Găsirea feței unui cub în volum este chiar mai ușoară. Având în vedere că volumul cubului este egal cu cubul (al treilea grad) al lungimii marginii cubului, se obține că lungimea marginii cubului este egală cu rădăcina gradului cubic (volumul al treilea) al volumului său, și anume:

și - lungimea marginii cubului,

V este volumul cubului.

Găsirea lungimii unei muchii cubului de-a lungul lungimilor diagonale cunoscute este puțin mai dificilă. Denumește prin:

a este lungimea muchiei cubului;

b - lungimea diagonalei feței cubului;

c - lungimea diagonalei cubului.

După cum se poate vedea din figură, diagonala feței și marginile cubului formează un triunghi echilateral dreptunghiular. Prin urmare, prin teorema lui Pitagora:

De aici găsim:

(pentru a găsi marginea cubului de care trebuie să extragi rădăcină patrată de la jumătate din pătratul feței diagonale).

Pentru a găsi marginea cubului de-a lungul diagonalei, folosim modelul din nou. Diagonala cubului (c), diagonala feței (b) și marginea cubului (a) formează un triunghi drept. Deci, în funcție de teorema lui Pitagora:

Folosim relația de mai sus între a și b și înlocuim în formula

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Primim:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, de unde găsim:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, prin urmare:

Un cub este un paralelipiped dreptunghiular, toate marginile cărora sunt egale. Prin urmare, se simplifică formula generală pentru volumul unui paralelipiped dreptunghiular și formula pentru suprafața sa în cazul unui cub . De asemenea, volumul cubului și suprafața sa pot fi găsite, cunoscând volumul bilei înscrise în el sau bilele descrise în jurul acestuia.

Veți avea nevoie

• lungimea laturii cubului, raza mingii înscrise și descrise

instrucție

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular este: V = abc - unde a, b, c sunt dimensiunile lui. Prin urmare, volumul cubului este egal cu V = a * a * a = a ^ 3, unde a este lungimea laturii cubului . Suprafața cubului este egală cu suma zonelor tuturor fețelor sale. Cubul are șase fețe, deci suprafața sa este S = 6 * (a ^ 2).

Lăsați mingea să se potrivească în cub. Evident, diametrul acestei mingi va fi egal cu partea cubului . Înlocuind lungimea diametrului în expresia pentru volum în loc de lungimea muchiei cubului și folosind diametrul care este egal cu dublul razei, obținem V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), unde d este diametrul cercului inscripționat și r este raza cercului inscripționat. Suprafața cubului va fi apoi S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Lăsați mingea să fie descrisă în jurul unui cub . Apoi diametrul său va coincide cu diagonala cubului . Diagonala cubului trece prin centrul cubului și leagă cele două puncte opuse.
Luați în considerare mai întâi una dintre fețele cubului . Marginile acestei fatete sunt picioarele unui triunghi drept, în care diagonala feței d va fi o hypotenuse. Apoi, prin teorema pitagoreană, obținem: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Apoi, luați în considerare triunghiul în care hypotenusa este diagonala cubului , iar diagonala feței d și unul dintre marginile cubului a este picioarele. În mod asemănător, prin teorema lui Pitagorean primim: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * a2 2) + a2 sqrt.
Deci, conform formulei derivate, diagonala cubului este D = a * sqrt (3). Prin urmare, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Prin urmare, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), unde R este raza mingii descrise. * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Deseori există sarcini în care trebuie să găsiți marginea unui cub, adesea acest lucru ar trebui făcut pe baza informațiilor despre volumul său, zona fațetei sau diagonala sa. Există mai multe opțiuni pentru definirea unei margini cub.

În acest caz, dacă zona cubului este cunoscută, atunci marginea poate fi ușor determinată. Fața cubului este un pătrat cu o latură egală cu marginea cubului. În consecință, aria sa este egală cu marginea pătrată a cubului. Ar trebui să utilizați formula: a = √S, unde a este lungimea marginii cubului și S este aria feței cubului. Găsirea unei margini a cubului prin volumul său este o sarcină chiar mai simplă. Este necesar să se țină seama de volumul cubului este egal cu cubul (în gradul III) lungimea marginii cubului. Se pare că lungimea marginii este egală cu rădăcina cubului volumului său. Adică, obținem următoarea formulă: a = √V, unde a este lungimea marginii cubului și V este volumul cubului.

În diagonală, puteți găsi și marginea cubului. În consecință, avem nevoie de: a - lungimea marginii cubului, b - lungimea diagonalei feței cubului, c - lungimea diagonalei cubului. Prin teorema lui Pythagorean primim: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, iar de aici puteți obține cu ușurință următoarea formulă: a = √ (b ^ 2/2), care extrage marginea cubului.

Din nou, folosind teorema lui Pythagorean (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), putem obtine urmatoarea relatie: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2 ^ 2, prin urmare, marginea cubului poate fi obținută după cum urmează: a = √ (c ^ 2/3).